傳播延遲 Propagation Delay

本文所談的傳播延遲主要定義在PCB或是Cable等訊號傳遞常用媒介上
其他電子元件內部的傳播延遲並不屬於於本文討論範圍
Session 1: 訊號速度 Signal Speed
Session 2: 傳播延遲 Propagation Delay
Session 3: 應用 Application
Session 4: 參考文件與延伸閱讀 Reference
Session n: 版本紀錄 History

Session 1: 訊號速度 Signal Speed

• 討論訊號速度時,我習慣會先思考在電子電路設計應用上訊號速度該如何被考量呢,主要是訊號呈現動態.

• 一個訊號呈現動態,或稱為訊號有轉態的情況,這時候在一個媒介上傳播時,就會有所謂的傳播速度.

• 電子訊號的轉態可以再簡化為電壓的變化,但須留意所謂的電壓是指電位差,是相對關係而非絕對關係.

• 首先,電磁波在真空中的速度被一位偉大的德國物理學家赫茲Henrich Hertz所計算出來[1].

• 1862年馬克斯威爾發表電磁研究的第二篇論文物理力線研究 On Physical Lines of Force, 其預言有電磁波的存在,並稱光也是種電磁波.

• 約莫二三十年後,赫茲利用實驗證實了電磁波的存在,並且在實驗中計算出電磁波的速度為每秒三十萬公里,和光的速度一樣.

• 電磁波的速度,光的速度:
  $c\cong3\times10^8 (m/s)$.

• 更嚴謹定義,電磁波的速度在真空中為:
  $c\cong3\times10^8 (m/s)$.

• 由於空氣的介電係數為1.00054,這時一個相對於真空的關係[2].

• 電磁波在空氣中的傳播速度亦為:
  $c\cong3\times10^8 (m/s)$.

• 現代中,SI國際單位系統是為一種公尺-公斤-秒-安培系統;MKSA system,如下表所列[3]:

  量測種類	單位	英文縮寫
  長度	公尺	m
  質量	公斤	kg
  時間	秒	s
  電流	安培	A

• 在SI系統中,有理化MKSA系統被採用於所有的電磁問題中,其中有兩個精確值.

• 精確值1: 電磁波在真空中的速度,光速:
  $c\cong3\times10^8 (m/s)$.

• 精確值2: 真空中的磁導係數:
  $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7} (H/m)$.

• 在電磁學中[4],電磁模型中有三個通用常數,他們與真空中的特性有關.

• 常數1: 真空中的電磁波速度,光速
  $c\cong3\times10^8 (m/s)$.

• 常數2: 真空中的介電係數(Permittiveity) $\epsilon_0$.

• $\epsilon_0$在電磁學中與電的現象有關,$\epsilon_0$是真空中電通密度$D$與電場強度$E$之間的比例常數.
  在真空中: $D = \epsilon_0{E}$

• 常數3: 真空中的導磁係數(permeability) $\mu_0$.

• $\mu_0$在電磁學中與磁的現象有關,$\mu_0$是真空中磁場強度$H$與磁通密度$B$之間的比例常數.
  在真空中: $H = {\frac{1}{\mu_0}}{B}$

• 因此,從上述的三個常數公式中可推導出真空中的介電係數精確值,我沒有推導過程,所以未來如有找導推導過程再補充:
  $c={\frac{1}{\sqrt{{\epsilon_0}{\mu_0}}}}$

• 將上一公式帶入電磁波速度精確值與導磁係數精確值後,即為第三個精確值 $\epsilon_0$:
  $\epsilon_0={\frac{1}{{c^2}{\mu_0}}\cong{\frac{1}{36\pi}}\times10^{-9}\cong8.854\times10^{-12}} (F/m)$

• 相對介電係數為該物質的介電係數與真空中介電係數的比值:
  $\epsilon_r={\frac{\epsilon}{\epsilon_0}}$

• 但請留意,相對介電係數是在靜止狀態下的結果,因為其實相對介電係數會隨著頻率變化而產生變化,通常是頻率升高時相對介電係數變低[5].

• 在電磁學中,最著名的方程式組為馬克斯威爾方程式組 Maxwell's equations,其描述了電場、磁場與電荷密度、電流密度之間的關係 的偏微分方程式,這些方程式組被定義在真空裡與物質中兩種型式,對這部分的理解上淺,暫不多敘述,未來有機會再補充.

• 根據馬克斯威爾方程式組,平面行進的波,其電場方向與磁場方向互相垂直,且分別垂直於波的行進方向,因此為橫波, 電場與磁場以同相位以光速$c$傳播.
  

• 上述中,我們討論過電磁波在真空中的傳遞速度為光速,而這個電磁波傳遞速度與真空中的介電係數及導磁係數有關係,如下列公式.
  $c={\frac{1}{\sqrt{{\epsilon_0}{\mu_0}}}}$

• 在介質中,電磁波的傳遞速度也是受介電係數及導磁係數所影響.
  $\upsilon={\frac{1}{\sqrt{{\epsilon}{\mu}}}}$

• 經過與真空中的傳遞速度$c$比較[5]: ${\frac{\upsilon}{c}}={\frac{\sqrt{{\epsilon_0}{\mu_0}}}{\sqrt{{\epsilon}{\mu}}}}={\sqrt{\frac{{\epsilon_0}{\mu_0}}{{\epsilon}{\mu}}}}={\sqrt{\frac{1}{\epsilon_r}}}{\sqrt{\frac{1}{\mu_r}}}={\frac{c}{\sqrt{\epsilon_r\mu_r}}}$

• 上述公式我們已經了解了訊號在物質中傳播的速度與相對介電係數及相對導磁係數有關,又因為目前我們所使用的介電物質材質都 是不包含鐵磁材料的聚合物,因此相對磁導係數可視為1[5],最後電磁波在物質中的傳遞速度受介電係數所影響.

• 然而,傳輸線又分為微帶線Microstrip與帶狀線Stripline,或是使用Coxial Cable[7].
  

• 上圖擷取自網路免費的阻抗計算網站

• 微帶線Microstrip是走在物質的表層,其本身傳遞訊號時有兩個不同的相對介電係數影響它,上方是空氣或是Solder Mask材料,下方是介電物質材料.

• 帶狀線Stripline是走在內層,其相對的介電係數較為一致.

• 但通常在探討訊號在物質中傳遞時,是以其建立電場與磁場的模型出發的,這個模型類似於微帶線Microstrip,但是其模型是理想的, 與實際狀況還是有一些差異.

• 在討論訊號傳遞速度時,其差異性在於介電係數其實會隨著頻率變高而產生變化,介電常數可能隨著頻率變高而降低,如此一來會讓訊號傳遞 而加快,但這些差異我們先暫時不探討.

• 因此我們簡單化模型來看,帶狀線Stripline的訊號傳遞速度為:
  $\upsilon={\frac{c}{\sqrt{{\epsilon_r}}}}$

• 而微帶線Microstrip則必須要做一些修正,因為其上方是空氣而成為:
  $\upsilon={\frac{c}{\sqrt{{\epsilon_{re}}}}}$

其中, $\epsilon_{re}\approx(0.64\epsilon_r+0.36)$

• 以常見的FR4[6]為例,之所以將實際上介電係數會隨著頻率變高而產生變化的因素先不談,主要是FR4的相對介電係數在500MHz至10GHz之間, 變化很小,其取決於環氧樹脂與玻璃纖維的比例.

• 目前市面上基板廠商可以提供較為一般情況使用的FR4板材,其相對介電係數值為約可從3.5至4.5,假設取中間值4來預估計算甚好記憶.

• 因此,帶狀線Stripline的訊號傳遞速度為:
  $\upsilon={\frac{3\times{10^8}}{\sqrt{4}}}=1.5\times{10^8}(m/s)$

• 微帶線Microstrip的傳遞速度則約為$1.8\times{10^8}(m/s)$

• 距離單位換算在電子電路設計上也經常用到,在台灣通常使用的單位為公制單位,公尺m,公分cm,公厘mm.

• 但是,PCB走線寬度與疊構厚度多數使用英制單位來進行,這可能是因為當初從歐洲國家傳過來的因素,但據我所知日本人則是把走線厚度等 也都統一用公制單位來進行溝通.

• 不管如何,為了方便溝通,單位還是稍微記憶一下:
  $1inch(英吋)=2.54cm(公分)=25.4mm$
  $1mil(英吋千分之一)=0.00254cm(公分)=0.0254mm$

• 在台灣的精密加工業,例如測量紙厚度、機構件車床加工等都會稱呼一種單位為條,緣由應該是因為最精密的加工尺寸約為一條, 並未考究僅供參考,但因為時常出現在廠商溝通之間,因此特別說明一下,一條為0.01mm.

• 因此$1mil$約為2.5條.

• 另外,疊構溝通時,我們會討論關於銅厚的選擇,銅厚度以oz昂司來計算,我們會覺得很奇怪,oz是一個重量單位,為何變為用來說明厚度呢? 主要的原因是1oz的銅均勻鋪在一平方英尺面積上所達到的厚度,在此就不多做計算.[6]

• 總之,1oz銅厚約為1.4mil,0.5oz銅厚約為0.7mil.

Session 1.1: 訊號在銅導體中的傳遞速度

• 待補話題.

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Session 2: 傳播延遲 Propagation Delay

• Session 1討論了關於訊號傳遞的速度,有了速度之後就可以推算出延遲時間.
  ${t_{pd}}=\frac{1}{\upsilon}$

• 帶狀線Stripline的訊號傳播延遲約為:
  ${t_{pd}}=\frac{1}{1.5\times{10^8}}(s/m)=0.667\times{10^{-8}}(s/m)$

• 帶狀線Stripline的訊號傳播延遲約為$6.67(nS/m)=6.67(pS/mm)$,如用inch來計算則約為$170(pS/inch)$

• 微帶線Microstrip的訊號傳播延遲約為$5.56(nS/m)=5.56(pS/mm)$,如用inch來計算則約為$141(pS/inch)$

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Session 3: 應用 Application

• 記住Stripline訊號傳播速度$\upsilon={\frac{3\times{10^8}}{\sqrt{4}}}=1.5\times{10^8}(m/s)$.
• 記住Microstrip訊號傳播速度$\upsilon=1.8\times{10^8}(m/s)$.
• 帶狀線Stripline的訊號傳播延遲約為$6.67(nS/m)=6.67(pS/mm)$,如用inch來計算則約為$170(pS/inch)$
• 微帶線Microstrip的訊號傳播延遲約為$5.56(nS/m)=5.56(pS/mm)$,如用inch來計算則約為$141(pS/inch)$
• $1inch(英吋)=2.54cm(公分)=25.4mm$
• $1mil(英吋千分之一)=0.00254cm(公分)=0.0254mm$
• 通常如果數位IC的訊號走在同一層中,只要彼此之間的線距長短控制一致,訊號延遲時間相同,則不會造成邏輯錯誤.
• 但如果訊號走線在不同層,需要留意線距長短的差距與訊號傳遞時間延遲的不同,但一般數位IC的Clock頻率不快時,因為仍具有 一定程度的Setup Time與Hold Time時間寬度,因此不會對於訊號之間的延遲差異非常的嚴苛.
• 除非是Clock頻率較快時便會有差異.
• 如果在Clock頻率較快時,例如DDR Memory走線,就盡量讓走線維持在相同的疊構層,訊號傳遞延遲時間會較相同, 但還是得考慮上下層的鋪銅或走線狀況而定,但如果條件相同時,只要線距差異控制在一定程度中,訊號彼此間的延遲差異也可以得到控制.
• FPGA設計對外訊號時,constraint也可以根據訊號走線與Clock的延遲情況來設定,有利於內部邏輯Implement時得到較佳的結果.
• 估算訊號Round Trip Delay的狀況時,例如T0時間點是從DUT開始計算,但DUT的訊號回傳時間必須被offset平移補償,否則T0的基準 時間會不同,假設路徑有30cm,則Round Trip Delay時間約為2nS,內部T0出發抵達DUT的時間為T0+2nS.
• 當DUT接收到T0開始工作反映回覆時要再走回2nS,所以相同的內部Driver的T0點,與Compare端所接收到的訊號為T0+4nS.
• 上述這種T0現象可以從示波器上看到,3.3V訊號從Driver端發射,一開始會量到1.5V之後才量到3.3V,中間1.5V維持的長度即為訊號往返的時間.

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Session 4: 參考文件與延伸閱讀 Reference

1. 近代電學科普系列.
2. 介電係數(more 損耗)
3. 電學國際單位
4. 電磁學第二版 李永勳編譯;Field and Wave Electromagnetic,2/e David K. Cheng
5. Signal and Power Integrity - simplified,2/e Eric Bogatin
6. FR4材質與阻抗,疊構設計
7. 傳輸線的差異
8. 費曼物理學講義II 李精益譯 高涌泉審訂 天下文化
9. 線寬,銅厚與電流關係

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Session 5: 版本紀錄 History

1. 001: 20200817 憨人建立.